Rigidez y Tensegridades (Jan 11–15, 2021, 13:30–15:00)
Playlist YouTube del curso: enlace. PDF de las clases: ver abajo.
El punto de este curso no es entrar en detalles de demostraciones, sino "entregarles un mapa" que permita navegar entre nociones de rigidez en física/geometría/computación/matemática discreta, en temas sobre los cuales a veces falta explorar las lindas conexiones que hay.
Sólo en la clase 1 habrá demostraciones extendidas, mientras que las otras clases presentan ideas y conexiones entre ellas sin entrar en detalles, y a veces unas demostraciones pequeñas.
Clase 1
Demostramos el teorema de Cauchy, que dice que fijados los largos de lados de un poliedro convexo, el poliedro queda únicamente determinado. Voy a hablar también del Teorema de Alexandrov, una especie de "viceversa" de este teorema.
Referencia: el libro "Convex Polyhedra" de Alexandrov, que en sus capítulos 2–4 cubre todo (y mucho más) de lo que hacemos, en detalle.
Clase 2
Empezamos con ver unas ideas detrás de resultados de rigidez y flexibilidad sobre inmersiones isométricas de variedades en el espacio Euclidiano. Esto conecta con la clase 1. Conectaremos también esta parte con problemas variacionales en elasticidad, cubriendo las conexiones entre: falta de rigidez ⟷ pérdida de convexidad ⟷ creación de microestructura en problemas variacionales.
Referencias: survey de De Lellis-Székelyhidi sobre inmersiones isométricas, notas de Müller sobre la parte de elasticidad (y creación de microestructuras en materiales).
Clase 3: Tensegridades
Voy a presentar la base de la teoría matemática de estructuras rígidas de cuerdas y cables. La presentación sigue el desarrollo desde los trabajos iniciales de Whiteley y Connelly, describiendo unos conceptos base de flexibilidad, hasta los últimos avances y la conexión con programación semidefinida por Gortler y otros (sólo sketch).
Referencias: el survey intitulado "Rigidity" de Connelly es un buen punto de partida. Ver también este otro paper de Connelly. A esto se suman referencias presentadas directamente durante la clase.
Clase 4: Rigidez en problemas de mínimo de energía
Los problemas considerados serán estudio de N cargas en interacción, para N grande, y problemas de cristalización. Esto se conecta directamente con problemas de empaquetamiento, y los mínimos forman configuraciones rígidas, para las cuales aparecen condiciones de equilibrio similares a las de la teoría de tensegridades.
Referencias: el paper "Rigidity and energy" de Connelly para la conexión con tensegridades. Tocaré igualmente los papers "Energy Minimization, Periodic Sets and Spherical Designs" de Coulangeon-Schürmann y mi paper "Crystallization to the square lattice for a two-body potential" de Bétermin, De Luca, Petrache, donde aparecen estabilidad y rigidez (ese último paper fue mi motivación para estudiar el material de este curso).
Clase 5: Rigidez para sistemas físicos
Haré un survey de nociones de rigidez en sistemas reales, especialmente en teoría de materiales, para dar una idea de unos problemas abiertos en rigidez, interesantes para los físicos. En particular tocaré el estudio del atascamiento, la presencia de estados protegidos, y modelos con tensegridades, y hablaremos más de cómo se complica la noción de rigidez en sistemas infinitos.
Referencias: presentaré varias direcciones durante la clase.